Meaning:
Lit. “I’ll give (my) head”. No, it’s not what you think. It’s actually a Polish idiom. It means: to be absolutely sure of something, to vouch for it; unconditionally support a conviction or a person.
One’s head is the single most vital part of the body, one you cannot live without. Hence to put it at stake you need to be 100% convinced of what you’re saying. A more graphic way to say this is: “dam sobie głowę uciąć” (“I’ll let my head cut”).
The expression is also (or even more often) used to admit that you are not sure or doubt something. If you say “głowy nie dam” you make it clear that whatever you’re talking about is a risky business.
Examples:
Sam mam wielu znajomych wśród lekarzy i dam głowę za ich profesjonalizm w podejściu do KAŻDEGO pacjenta.
Witam wszystkich, proszę o poradę w sprawie opadającej podłogi na parterze oczywiście. Powodem opadania będzie najprawdopodobnie niedokładne ubicie gruntu, gdyż to robiła ekipa – posadzki wylewałem sam i głowę dam że styropian, wylewka i izolacja jest wykonana właściwie.
– Nie dam głowy, że już nikt z Legii nie odejdzie. Wszystko zależy od propozycji, jakie wpłyną do klubu. Ja bym chciał, żebyśmy już nie tracili żadnych zawodników – przyznał na spotkaniu z dziennikarzami szkoleniowiec mistrzów Polski, Jacek Magiera.
(Yes, a different noun case is needed for a negation. No, it does not make any sense. Polish grammar is not logical.)